3.5　2的补码加法/减法器

对于带符号的算术运算，它们的数值可以表示成正数或者负数的2的补码。两个n位数字（A）2s和（B）2s的减法可以表示成（A）2s和（- B）2s的加法，如下所示，这里（B）1s表示简单地对B的每一位进行取反，即B的反码。

2的补码减法算法

图3-11展示了2的补码减法算法过程。“+ 1”用一位进位输入来实现。

类似地，下列算法描述了n位2的补码加法。在这个例子中，输入B没有变化且进位输入设为0。

2的补码加法算法

2的补码算术产生n位2的补码输出，进位输出被忽略且不被计算到最后结果中。然而，结果还是有可能会溢出。例如，考虑用1减最小的n位二进制补码负数，或者1加上最大的n位2的补码正数。在两个例子中，结果差值和和值都会超过n位负数和n位正数2的补码表示的范围。

当A和B都是2的补码正数时，它们的符号位为0。在这个例子中，为了保证A + B不会溢出，加到符号位的进位必须为0。这样会产生0作为进位输出；不然就会产生溢出。例如，考虑图3-12中的例子a和c。在例子a中，A = (0111)2s = 7且B = (0001)2s = 1都是2的补码正数，此外，A是最大的4位正数。如图中所示，当B = 1与A = 7相加，结果为(1000)2s = - 8，一个负数，这就意味着溢出。在这个例子中，c3 = 1，且当其与都为0的符号位相加的时候，这就让符号位之和变为1（负数）且c4 = 0≠c3 = 1。要使溢出情况不会出现，当两个2的补码正数相加时，c3和c4都必须为0。在例子c中，当两个负数A = - 1和B = - 2相加，符号位都为1，如果c3 = 1产生c4 = 1则A + B不会溢出。否则，结果就会溢出，生成一个正数为结果。从例子a和例子c中得到的结论是当c3 = c4时，结果不会溢出，不论A和B是正数还是负数的2的补码形式。例子b和d展示了减法。在这个例子中，等式A - B就是在计算A + (B)1s + 1。在例子b中，当B = 1（正数）去减A = - 8时（最小的4位2的补码负数），c3为0，加到符号位（都为1）上时，产生7为结果（不正确的结果）。注意，c4 = 1≠c3 = 0。在例子d中，A = - 1和B = - 2都为2的补码负数，且当相减时，结果不会溢出。注意到在这个例子中，c3 = 1与c4 = 1（c3 = c4）值相等。两个正数相减也不会产生溢出的情况。表3-2为n位2的补码加法器/减法器溢出信号ovf的真值表。进位cn - 2与符号位相加产生最终进位cn - 1。公式（3-14）定义了溢出信号：

图3-13展示了两个框图：a）2的补码加法器和b）2的补码加法器。两个框图只有输入(B)2s和处理进位不相同。在图3-13a中，输入B与A相加，并没有改变表示形式。在图3-13b中，输入B在与A相加之前，经过了按位非运算。这样，我们可以只有一个加法器模块来组合两个电路框图实现一个加法器/减法器模块。可以用反相器模块来转换结果，当加法时输出B，当减法时输出B的非，当运算减法时，E = en - 1…e1e0等于B的反码或者表示为(B)1s。模式信号m用来表示运算模式，当m = 0（进位输入为0）时，运行加法，当m = 1（进位输入为1），运行减法。

表3-3为一位反相器片的真值表。最后组合设计如图3-14所示，信号m也被用于最初的进位输入值。注意到有信号m的模块与进位输入连接不能用于这几位串行的大型加法器/减法器电路。如果需要设计位串行电路，必须用分开的进位输入作为输入。